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Euclid’s Lemma
假如素数 $p\mid {ab}$ ，那么 $p\mid a$ 或 $p\mid b$ (或 $p\mid a\text{ and }p\mid b$)。
Prime Divisibility Property
假如素数 $p$ 整除 $a_1a_2\ldots a_r$ ，那么 $p$ 至少整除 $a_1a_2\ldots a_r$ 的一个因子。
可用上边的引理证明。
The Fundamental Theorem of Arithmetic
每个大于1的自然数或者本身就是质数或者可写为质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。
书上论述关于这个定理的有趣之处在于，作者在证明之前先引入了”偶数空间”($\mathbb{E}$-Zone)的概念——在由全体偶数构成的集合中，”素数”被定义为那些不能被其他偶数整除（即商不是偶数）的偶数，比如 $6,10,18,30$ 就是”素数”；然而在这一集合中，算术基本定理并不适用，比如 $180=6\cdot30=18\cdot10$。作者以 $\mathbb{E}$-Zone 为例子传达了一种谨慎的思考方式：
…facts that seem obvious require a healthy dose of skepticism. Especially, any “fact” that “must be true” because it is very familiar or because it is frequently proclaimed to be true is a fact that needs the most careful scrutiny.
Exercise
7.3
证明素勾股数定理的$(st,\dfrac{s^2-t^2}{2},\dfrac{s^2+t^2}{2})$两两互质。
先证明
由二项式展开
因为 $\gcd{(s,t)}=1\iff sx+ty=1$，所以
因此 $\gcd{(s^2,t^2)}=1$。回到原来的问题，
令 $d=\gcd{(b,c)}$，
因此 $\gcd{(b,c)}=1$，$b$ 和 $c$ 互质。考虑 $a^2=b^2-c^2$，由于$\gcd{(c^2,b^2)}=1$，所以
同样的道理可以证明
所以素勾股数定理的$(st,\dfrac{s^2-t^2}{2},\dfrac{s^2+t^2}{2})$两两互质。
7.5
(a)
- 描述所有的 $\mathbb{E}$-primes。
所谓的 $\mathbb{E}$-primes 就是其素因子 $2$ 的个数只有一个的合数。
(b)
- 证明每一个偶数都能分解为若干个 $\mathbb{E}$-prime 的乘积。
归纳法。用 $a_n=2n$ 表示第 $n$ 个素数，$n\in\mathbb{N}$。
基础：当$n=1$时，$a_1=2$，$2$ 是一个 $\mathbb{E}$-prime。因此命题成立
归纳假设：假设命题对 $n\le k$ 时成立，即$a_1,a_2,\ldots a_{k-1}, a_{k}$都能分解为若干个 $\mathbb{E}$-prime 的乘积。
递推：那么当 $n=k+1$ 时，假如 $a_{k+1}$ 是一个 $\mathbb{E}$-prime，那么命题得证；否则，$a_{k+1}=b_1b_2\text{, }2\le b_1\le b_2 \lt a_{k+1}$。由归纳假设可知 $b_1\text{, }b_2$ 各自可以分解为若干个 $\mathbb{E}$-prime 的乘积
那么
所以 $a_{k+1}$ 可以分解为若干个 $\mathbb{E}$-prime 的乘积，命题对 $n=k+1$ 时也成立。
(c)
- 找出有两种不同分解方式的最小偶数。
素因子中有两个 $2$ 和两个奇数。满足条件的偶数是 $36=2^2\times3\times3=6\times6=2\times18$
-
$180$ 是拥有三种不同分解方式的最小偶数吗？
-
找出拥有四种不同分解方式的最小偶数。
(d)
- 描述只有一种分解方式的偶数。
这个数要么本身是 $\mathbb{E}$-prime（$2$的数量只有一个），要么除$2$ 以外的素因子只有一个。所以满足条件的数
